Színészcsaládból származik. -"A szülői ház hatására kora gyerekkoromban bementem a színházba, és azóta se nagyon jöttem ki belőle."- Édesanyja Almássy Judit^[3] korán visszavonult a pályától. Édesapja, Zách János^[4] élete végéig aktív maradt. Zách János az 1956/57-es szezonban , fia későbbi sikereinek városában, Kaposváron volt direktor. Meghívta rendezni Németh Antalt a Nemzeti Színház egykori igazgatóját, aki nagy hatással volt a tizenhárom éves fiúra. (Németh Antal rendezte az 1957. március 3-án bemutatott, A mi kis városunk című Wilder darabot. A szereposztásban felfedezhetjük a családot: A rendező szerepét Zách János; Webbnét Almássy Judit alakította. A gyermekek Judit (Rebecca Gibbs) és Gábor (Wally Webb) is színpadon voltak.^[5])

Zsámbéki korábban gyerekszínész volt, a Várkonyi Zoltán által vezetett Művész Színházban. Négyévesen az Ida regénye című darabban, Szabó Sándor és Komlós Juci partnere volt^[6]. Színészi ambíciói^[7] azonban nem voltak, annak ellenére sem, hogy érettségi után egy évet díszletmunkásként dolgozott, az akkori Katona József Színházban. Késztetést érzett viszont a rendezésre, első próbálkozásra fel is vették a főiskolára, ahol elsősorban Nádasdy Kálmánért lelkesedett. A főiskola elvégzése után, 1968-ban Kaposvárra került. Előbb rendezője, majd édesapja korábbi vezetői székébe ülve igazgatója lett a Csiky Gergely Színháznak. Kezdetben nem érezte jól magát Kaposváron; 1970-ben azonban Komor István lett a főrendező, ekkor alakult ki a színház törzsgárdája és kezdődött a színvonalas művészi munka. 1978-ban azok közé tartozott, akinek segítségével a színházi élet irányítói szerették volna megújítani, korszerűsíteni a Nemzeti Színházat. Vezetőrendezőnek szerződtették és meghatározó posztra került Székely Gábor is. A kaposvári és szolnoki színház eredményei azonban nem voltak integrálhatóak, állandósultak a szakmai és politikai konfliktusok. 1982-ben megkezdődött a visszarendeződés, ekkor Székely Gáborral elhagyták a színházat. Néhány hónappal később azonban lehetőséget kaptak egy önálló társulat létrehozására és birtokba vehették a Petőfi Sándor utcai színházépületet. A név: Katona József Színház változatlan maradt, Székely Gábor igazgatói, Zsámbéki művészeti vezetői megbízást kapott. Székely Gábor 1989-ben távozott a színháztól, azóta Zsámbéki Gábor tölti be az igazgatói posztot.

2010-ben már nem pályázottt. 2011. február 1-én Máté Gábor váltotta az igazgatói székben.

Díjai 

• 1973 – Jászai Mari-díj
• 1981 – Érdemes művész
• 1988 – Kossuth-díj
• 1989 – BITEF Nagydíj – A revizor
• 1990 – Francia kritikusok díja a legjobb külföldi előadásnak – Übü király
• 1990 – Legjobb külföldi előadás díja (Caracas) – A revizor
• 2002 – Hazám-díj
• 2002 – Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje
• 2010 – Budapest díszpolgára
• 2011 - Budapest Értékei Díj^[14]